Bloom Filter概念和原理

陈着 posted @ May 13, 2010 12:55:30 AM in Algorithm , 2440 阅读

转载自:http://blog.csdn.net/jiaomeng/archive/2007/01/27/1495500.aspx



        Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构,它利用位数组很简洁地表示一个集合,并能判断一个元素是否属于 这个集合。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的:在判断一个元素是否属于某个集合时,有可能会把不属于这个集合的元素误 认为属于这个集合(false positive)。因此,Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下,Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

集合表示和元素查询

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时,Bloom Filter是一个包含m位的位 数组,每一位都置为0

为了表达S={x1, x2,…,xn}这样一个n个元素 的集合,Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数(Hash Function),它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x,第i个哈希函数映射的位置hi(x)就会被置为11ik)。注意,如果一个位置多次被置为1,那 么只有第一次会起作用,后面几次将没有任何效果。在下图中,k=3,且有两个哈希函数选中同一 个位置(从左边数第五位)。  

在判断y是否 属于这个集合时,我们对y应用k次哈希函数,如果所有hi(y)的位置都是11ik),那么我们就认为y是集合 中的元素,否则就认为y不是集合中的元素。下图中y1就不是集合中的元素。y2或者属于这个集合,或者刚好是一个false positive


错误率估计

前面我们已经提到了,Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率(false positive rate),下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型,我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k个哈希 函数映射到m位的位数组中时,这个位数组中某一位还是0的概率是:

其中1/m表示任意一个哈希函数选中这 一位的概率(前提是哈希函数是完全随机的),(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位 的概率。要把S完全映射到位数组中,需要做kn次哈 希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它,因此这 个概率就是(1-1/m)的kn次方。令p = e-kn/m是为了简化运算,这里用到了计算e时常用的近似:

 

令ρ为位数组中0的比例,则ρ的数学 期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况 下,要求的错误率(false positive rate)为:

 

(1-ρ)位数组中1的比例,(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好选中1的区域,即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了,现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望, 在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明[2] ,位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此,第一步的近似得以成立。分别将pp’代入上式中,得:

 


相比p’f’,使用pf通常在分析中更为方便。 

最优的哈希函数个数 

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中,那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低 呢?这里有两个互斥的理由:如果哈希函数的个数多,那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概 率就大;但另一方面,如果哈希函数的个数少,那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个 数,我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用pf进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m)),我们令g = k ln(1 − e−kn/m),只要让g取到最 小,f自然也取到最小。由于p = e-kn/m,我们可以将g写成

根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2,也就是k = ln2· (m/n)时,g取得最小值。在这种情况下,最小错误率f等于(1/2)k (0.6185)m/n。另外,注意到p是位数组中某一位仍是0的概率,所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说,要想保持错误率低,最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是,p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值pf。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn))g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn)p’ = (1 − 1/m)kn,我们可以将g’写成

同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时,g’取得最小值。

位数组的大小 

下面我们来看看,在不超过一定错误率的情况下,Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元 素的集合。假设全集中共有u个元 

素,允许的最大错误率为є,下面 我们来求位数组的位数m

假设X为全 集中任取n个元素的集合,F(X)是 表示X的位数组。那么对于集合X中任意 一个元素x,在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果,即s能够接 受x。显然,由于Bloom Filter引入了错误,s能够接 受的不仅仅是X中的元素,它还能够є (u - n)false positive

因此,对于一个确定的位数组来说,它能 够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中,s真正表 示的只有其中n个,所以一个确定的位数组可以表示

个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合,进而可以推出,m位的位 数组可以表示

个集合。全集中n个元素 的集合总共有

个,因此要让m位的位 数组能够表示所有n个元素的集合,必须有

即:


 

上式中的近似前提是nєu相比很小,这也是实际情况中常常发生的。根据上式,我们得出结论:在错误率不大于є的情况下,m至少要 等于n log2(1/є)才能表示任意n个元素 的集合。

上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小, 这时f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。现在令fє,可以推出


这个结果比前面我们算得的下界n log2(1/є)大了log2 e 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时,要让错误率不超过єm至少需要取到最小值的1.44倍。

总结: 

在计算机科学中,我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况, 即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个 因素之外又引入了另一个因素:错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否 属于某个集合时,会有一定的错误率。也就是说,有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(False Positive),但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合(False Negative)。在增加了错误率这个因素之后,Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

自从Burton Bloom70年代提出Bloom Filter之后,Bloom Filter就被广 泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年,伴随着网络的普及和发展,Bloom Filter在网络领域获得了新生,各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见,随着网络应用的不断深入,新的变种和应用将会继续出现,Bloom Filter必将获得更大的发展。

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BSEM 10th Class Mode 说:
Aug 17, 2022 10:00:55 PM

The BSEM HSLC 10th Exam Guess Paper will be released. The new exam and evaluation method was adopted by the examination board for this academic year, and everyone anticipates a decline in student pass rates as a result of these changes. Candidates who failed the ordinary exams don't need to be concerned about continuing their study. BSEM 10th Class Model Paper 2023 PDF Every year in the month of May, the board holds additional exams to provide students who were disqualified one more chance. 10th Grade New Question Paper for Manipur HSLC, The class 10 HSLC Exams will use new model papers from the Manipurian government. It will make available the new and sample test questions for the March to April 2023 exam.


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